“O caminho para a sabedoria? Bem… É fácil e simples de se expressar: errar, errar e errar novamente … Mas, cada vez menos, menos e menos…” P.H.Kumbel.................................................................................... Este blog é direcionado para as 2ªas séries do 2º grau e tem o objetivo de divulgar coisas curiosas e interessantes da matemática e outras áreas. Aproveite, leia as postagens, assista os vídeos e faça comentários! Participe da enquete!
quinta-feira, 3 de novembro de 2011
Simetria Matemática
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321 1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
Raiz Quadrada dos 20 primeiros números naturais
Raiz quadrada de:
√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418
√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418
quarta-feira, 2 de novembro de 2011
A História da Matemática
Nas últimas décadas, a sociedade vem experimentando um período de mudanças nos meios de produção e ampliação do conhecimento, um dos aspectos de mudança é o emprego da matemática nas práticas sociais do cotidiano como em compras, vendas, empréstimos, crediário, contas bancárias, seguros e nas atividades cientificas ou tecnológicas.
Além disso, as pessoas são expostas a informações que para serem entendidas de modo crítico exigem a leitura e a interpretação de dados contidos em tabelas e gráficos. A capacidade de resolver problemas torna-se cada vez mais requisitada.
Na matemática há uma tradição de se iniciar um conteúdo pela apresentação de textos que contextualizam histórica ou socialmente o conhecimento e contribuem para motivar a sua sistematização. Um pouco de história da matemática com ênfase nas motivações sociais e econômicas é apresentada e levam ao avanço do uso dessa ciência.
Freqüentemente, o aluno é levado a refletir e a se posicionar acerca de questões sobre o ambiente, a inclusão de minorias, o desenvolvimento tecnológico e a crise financeira, questões que contribuem para a compreensão de que a matemática é fundamental no dia a dia, mas o que eles devem ter em mente é que por traz de simples expressões e cálculos existem milhões de anos de história de pessoas que com genialidade a fizeram ser o que é hoje.
O estudo da matemática inclui diversos aspectos, mas a sua historia tem sido negligenciada. Com este trabalho tenho o objetivo de pesquisar e compor uma parte significativa da história da matemática.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A MATEMÁTICA foi inventada e vem sendo desenvolvida pelo homem, ao longo dos seus três milhões de anos de existência, em função de necessidades sociais.
Produzida e organizada pelo homem é uma das mais significativas de suas conquistas, tornando-se um patrimônio da humanidade.
Ela faz parte do cotidiano das pessoas e contribui para as atividades das outras ciências e das tecnologias.
Na matemática se articulam de forma complexa e indissociável o aspecto das aplicações às atividades humanas, o aspecto da especulação voltado para a resolução de construções matemáticas e o aspecto de atividades lúdicas das pessoas.
Vejamos a linha do tempo:
PERÍODO PALEOLÍTICO PERÍODO NEOLÍTICO
(PEDRA LASCADA) (PEDRA POLIDA)
INFERIOR SUPERIOR
HOMEM PRÉ-HISTÓRIA HISTÓRIA
-----------|--------------------------------|-----------------------|-------------------|---------------------|----------------
- 300000 - 35000 - 10000 - 4000 0
Durante todo o paleolítico inferior, o homem, nômade, viveu da caça e da coleta, competindo com os outros animais, utilizando paus, pedras e o fogo. Ele usava apenas as noções de mais e menos, maior e menor. O zero aparece como a idéia de sucesso ou insucesso: Cacei ou não cacei. O um surge da necessidade de distinguir singular e plural: Nada, um, vários. O dois surge de casal, par, dupla. E assim vão surgindo os outros números.
No paleolítico superior, os homens utilizavam novos materiais como ossos, peles, cipós, fibras e realizavam pinturas e esculturas naturalistas. Eles já aplicavam a contagem e noções intuitivas de paralelismo e perpendicularismo.
No neolítico o homem domina a natureza com a domesticação de plantas e animais é o início da agricultura e da pecuária que torna o homem produtor e o fixa a um mesmo lugar, em choupanas, enquanto a terra é capaz de produzir.
Neste período novos conhecimentos sobre terras, fertilidade, sementes, técnicas de plantio são incorporados por tentativa e erro. São criados calendários agrícolas. Os rebanhos precisam ser contados, os grãos armazenados. A matemática se desenvolve.
No inicio do período histórico as tribos se estabelecem às margens de rios, as choupanas são transformadas em casas, as aldeias em cidades, surge a propriedade e o homem necessita de projetos e medidas.
Surgem as classes sociais, a propriedade, o Estado, a escrita fonética e a matemática se desenvolve voltada para a contabilização e armazenamento.
A inundação dos rios desmarcava os limites das propriedades, gerando a necessidade de remarcá-las. Isso era feito com o auxílio de medidas e plantas pelos “esticadores de cordas”. As medidas nem sempre constituíam números inteiros, daí o desenvolvimento dos números fracionários.
É a matemática se desenvolvendo no Egito, na Babilônia e posteriormente com os maias e os astecas.
Há cerca de 6000 anos, os egípcios já conheciam o ábaco, a notação decimal, algumas frações, algumas contas, sabiam dobrar números, operavam com frações de denominador igual a um.
Eles usavam símbolos como: I (Um) e ∩ (Dez).
Por exemplo, a quantidade 36 era representada assim: ∩∩II
∩IIII
Os egípcios conheciam e usavam o teorema que mais tarde chamou-se “Teorema de Pitágoras”, para cálculos de áreas e volumes. Eles criaram o “calendário de 365 dias”, inventaram o “relógio de sol” e a “balança”. Usando pau e pedra, construíram cidades e grandes monumentos.
O uso do ferro foi descoberto na Ásia Menor, com isso ferramentas foram criadas e o comércio se expandiu, intensificando as navegações, melhorando os transportes.
É a época da hegemonia grega, aparece o alfabeto que gera intercâmbio cultural. O Conhecimento deve ser classificado e ordenado, são conhecimentos que tratam de quantidades, figuras e símbolos. Surge a filosofia em função da matemática.
Como os pensadores gregos desprezavam o trabalho, que deveria ser realizado por escravos, seguiram o caminho das abstrações, aprofundando a matemática, aprimorando a geometria, a lógica e a mecânica. A partir da civilização grega, o método dedutível, com uso permanente da imaginação, do raciocínio e de tentativas, tem predominado na comunidade científica para a comprovação de um fato matemático.
No período em que os romanos dominavam o mundo, a matemática continuou a avançar, especialmente com os “alexandrinos ” como Eratóstenes (284-192 a.C), que calculou o tamanho da terra, Ptolomeu (±100 – 168 d.C) que defendeu a teoria geocêntrica, Diofanto (325 – 409 d.C) que formulou equações.
No início da Idade Média (Sec. V e VI ) alguns matemáticos árabes como Avicena, Al-khowarizmi, Omar Khayyam, Nasi Eddin aperfeiçoaram o sistema de numeração arábico, que já era usado na India e na Síria.
O sistema posicional, utilizado até hoje, representou para a Aritmética o que o alfabeto foi para a escrita. Afinal fazer contas com algarismos romanos não era nada fácil.
Também devemos aos árabes o desenvolvimento da álgebra, com métodos que tornaram mais simples a resolução de equações, revolucionando a matemática.
Nos séculos XV e XVI, durante o Renascimento, o comércio e as cidades reativaram-se, neste período surge na Itália os números negativos, para cálculos de dívidas e créditos, que vem juntar-se ao conjunto de números naturais já existentes desde a pré-história.
A resolução da raiz quadrada não exata acarreta o aparecimento dos números Irracionais e a raiz quadrada de números negativos, o aparecimento dos números Complexos. Neste âmbito podemos citar Fibonacci, Tartaglia, Bombelli, ...Fibonacci usou o traço dando a fração sua forma atual.
As medições empíricas foram simultâneas à criação dos números naturais, fracionários e negativos, com a medição abstrata dos gregos surge a necessidade de ampliar os racionais com a criação dos números reais.
No período das grandes navegações, a Astronomia teve forte impulso, para a orientação em alto mar. O mapa do mundo (Ptolomeu, 150 dC) é quadriculado e as coordenadas são usadas sistematicamente. As rotas são gráficos matemáticos de grande importância paro o sucesso da viagem.
No século XVII surgiu a Geometria Analítica, desenvolveu-se a Trigonometria e surgiram os logaritmos para os cálculos astronômicos.
Com Viète, usando letras tanto para quantidades conhecidas como para desconhecidas a rapidez do cálculo foi aumentada e a notação se formalizou.
Leibniz e Newton sintetizaram o cálculo integral e diferencial.
No século XIX aconteceu a reordenação lógica da matemática com Cantor, Frege e Russell, dando a ela a simbologia e a forma que conhecemos hoje.
Esse pequeno relato mostra que a matemática é a mais antiga das ciências. Que já caminhou muito, já sofreu reformas, até se tornar formal, mas já caminhou justamente por ser fácil e estar a serviço do homem.
Para quem conhece a história, na matemática nada é estranho, sem continuidade, sem significado. E vista assim ela deve ser gostosa de aprender.
Além disso, as pessoas são expostas a informações que para serem entendidas de modo crítico exigem a leitura e a interpretação de dados contidos em tabelas e gráficos. A capacidade de resolver problemas torna-se cada vez mais requisitada.
Na matemática há uma tradição de se iniciar um conteúdo pela apresentação de textos que contextualizam histórica ou socialmente o conhecimento e contribuem para motivar a sua sistematização. Um pouco de história da matemática com ênfase nas motivações sociais e econômicas é apresentada e levam ao avanço do uso dessa ciência.
Freqüentemente, o aluno é levado a refletir e a se posicionar acerca de questões sobre o ambiente, a inclusão de minorias, o desenvolvimento tecnológico e a crise financeira, questões que contribuem para a compreensão de que a matemática é fundamental no dia a dia, mas o que eles devem ter em mente é que por traz de simples expressões e cálculos existem milhões de anos de história de pessoas que com genialidade a fizeram ser o que é hoje.
O estudo da matemática inclui diversos aspectos, mas a sua historia tem sido negligenciada. Com este trabalho tenho o objetivo de pesquisar e compor uma parte significativa da história da matemática.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A MATEMÁTICA foi inventada e vem sendo desenvolvida pelo homem, ao longo dos seus três milhões de anos de existência, em função de necessidades sociais.
Produzida e organizada pelo homem é uma das mais significativas de suas conquistas, tornando-se um patrimônio da humanidade.
Ela faz parte do cotidiano das pessoas e contribui para as atividades das outras ciências e das tecnologias.
Na matemática se articulam de forma complexa e indissociável o aspecto das aplicações às atividades humanas, o aspecto da especulação voltado para a resolução de construções matemáticas e o aspecto de atividades lúdicas das pessoas.
Vejamos a linha do tempo:
PERÍODO PALEOLÍTICO PERÍODO NEOLÍTICO
(PEDRA LASCADA) (PEDRA POLIDA)
INFERIOR SUPERIOR
HOMEM PRÉ-HISTÓRIA HISTÓRIA
-----------|--------------------------------|-----------------------|-------------------|---------------------|----------------
- 300000 - 35000 - 10000 - 4000 0
Durante todo o paleolítico inferior, o homem, nômade, viveu da caça e da coleta, competindo com os outros animais, utilizando paus, pedras e o fogo. Ele usava apenas as noções de mais e menos, maior e menor. O zero aparece como a idéia de sucesso ou insucesso: Cacei ou não cacei. O um surge da necessidade de distinguir singular e plural: Nada, um, vários. O dois surge de casal, par, dupla. E assim vão surgindo os outros números.
No paleolítico superior, os homens utilizavam novos materiais como ossos, peles, cipós, fibras e realizavam pinturas e esculturas naturalistas. Eles já aplicavam a contagem e noções intuitivas de paralelismo e perpendicularismo.
No neolítico o homem domina a natureza com a domesticação de plantas e animais é o início da agricultura e da pecuária que torna o homem produtor e o fixa a um mesmo lugar, em choupanas, enquanto a terra é capaz de produzir.
Neste período novos conhecimentos sobre terras, fertilidade, sementes, técnicas de plantio são incorporados por tentativa e erro. São criados calendários agrícolas. Os rebanhos precisam ser contados, os grãos armazenados. A matemática se desenvolve.
No inicio do período histórico as tribos se estabelecem às margens de rios, as choupanas são transformadas em casas, as aldeias em cidades, surge a propriedade e o homem necessita de projetos e medidas.
Surgem as classes sociais, a propriedade, o Estado, a escrita fonética e a matemática se desenvolve voltada para a contabilização e armazenamento.
A inundação dos rios desmarcava os limites das propriedades, gerando a necessidade de remarcá-las. Isso era feito com o auxílio de medidas e plantas pelos “esticadores de cordas”. As medidas nem sempre constituíam números inteiros, daí o desenvolvimento dos números fracionários.
É a matemática se desenvolvendo no Egito, na Babilônia e posteriormente com os maias e os astecas.
Há cerca de 6000 anos, os egípcios já conheciam o ábaco, a notação decimal, algumas frações, algumas contas, sabiam dobrar números, operavam com frações de denominador igual a um.
Eles usavam símbolos como: I (Um) e ∩ (Dez).
Por exemplo, a quantidade 36 era representada assim: ∩∩II
∩IIII
Os egípcios conheciam e usavam o teorema que mais tarde chamou-se “Teorema de Pitágoras”, para cálculos de áreas e volumes. Eles criaram o “calendário de 365 dias”, inventaram o “relógio de sol” e a “balança”. Usando pau e pedra, construíram cidades e grandes monumentos.
O uso do ferro foi descoberto na Ásia Menor, com isso ferramentas foram criadas e o comércio se expandiu, intensificando as navegações, melhorando os transportes.
É a época da hegemonia grega, aparece o alfabeto que gera intercâmbio cultural. O Conhecimento deve ser classificado e ordenado, são conhecimentos que tratam de quantidades, figuras e símbolos. Surge a filosofia em função da matemática.
Como os pensadores gregos desprezavam o trabalho, que deveria ser realizado por escravos, seguiram o caminho das abstrações, aprofundando a matemática, aprimorando a geometria, a lógica e a mecânica. A partir da civilização grega, o método dedutível, com uso permanente da imaginação, do raciocínio e de tentativas, tem predominado na comunidade científica para a comprovação de um fato matemático.
No período em que os romanos dominavam o mundo, a matemática continuou a avançar, especialmente com os “alexandrinos ” como Eratóstenes (284-192 a.C), que calculou o tamanho da terra, Ptolomeu (±100 – 168 d.C) que defendeu a teoria geocêntrica, Diofanto (325 – 409 d.C) que formulou equações.
No início da Idade Média (Sec. V e VI ) alguns matemáticos árabes como Avicena, Al-khowarizmi, Omar Khayyam, Nasi Eddin aperfeiçoaram o sistema de numeração arábico, que já era usado na India e na Síria.
O sistema posicional, utilizado até hoje, representou para a Aritmética o que o alfabeto foi para a escrita. Afinal fazer contas com algarismos romanos não era nada fácil.
Também devemos aos árabes o desenvolvimento da álgebra, com métodos que tornaram mais simples a resolução de equações, revolucionando a matemática.
Nos séculos XV e XVI, durante o Renascimento, o comércio e as cidades reativaram-se, neste período surge na Itália os números negativos, para cálculos de dívidas e créditos, que vem juntar-se ao conjunto de números naturais já existentes desde a pré-história.
A resolução da raiz quadrada não exata acarreta o aparecimento dos números Irracionais e a raiz quadrada de números negativos, o aparecimento dos números Complexos. Neste âmbito podemos citar Fibonacci, Tartaglia, Bombelli, ...Fibonacci usou o traço dando a fração sua forma atual.
As medições empíricas foram simultâneas à criação dos números naturais, fracionários e negativos, com a medição abstrata dos gregos surge a necessidade de ampliar os racionais com a criação dos números reais.
No período das grandes navegações, a Astronomia teve forte impulso, para a orientação em alto mar. O mapa do mundo (Ptolomeu, 150 dC) é quadriculado e as coordenadas são usadas sistematicamente. As rotas são gráficos matemáticos de grande importância paro o sucesso da viagem.
No século XVII surgiu a Geometria Analítica, desenvolveu-se a Trigonometria e surgiram os logaritmos para os cálculos astronômicos.
Com Viète, usando letras tanto para quantidades conhecidas como para desconhecidas a rapidez do cálculo foi aumentada e a notação se formalizou.
Leibniz e Newton sintetizaram o cálculo integral e diferencial.
No século XIX aconteceu a reordenação lógica da matemática com Cantor, Frege e Russell, dando a ela a simbologia e a forma que conhecemos hoje.
Esse pequeno relato mostra que a matemática é a mais antiga das ciências. Que já caminhou muito, já sofreu reformas, até se tornar formal, mas já caminhou justamente por ser fácil e estar a serviço do homem.
Para quem conhece a história, na matemática nada é estranho, sem continuidade, sem significado. E vista assim ela deve ser gostosa de aprender.
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